Предельные циклы уравнения Абеля с параметром, поворачивающим поле

Abstract

В статье рассматривается задача установления точного числа и локализации предельных циклов для однопараметрических семейств уравнений Абеля, в которых параметр поворачивает векторное поле соответствующих автономных систем дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством. Алгоритм построения функции предельных циклов второго рода, разработанный ранее А. А. Гринем совместно с Л. А. Черкасом и К. Шнайдером, вычисляющий для заданного значения непериодической фазовой переменной соответствующее значение параметра, основан на применении метода Ньютона к отображению Пуанкаре и представляет собой метод продолжения по параметру. Для исследования поведения построенной функции в окрестностях точек экстремума, соответствующих бифуркациям двукратных предельных циклов, находится функция Пуанкаре для специальным образом расширенной системы. Для изучения монотонных участков функции предельных циклов разработаны новые способы установления точного числа предельных циклов, основанные на нахождении трансверсальных кривых, соответствующих функции Дюлака, Дюлака – Черкаса или их обобщений. Эффективность предложенных подходов построения и исследования функции Пуанкаре продемонстрирована на примерах однопараметрических семейств уравнений Абеля, для которых установлено число предельных циклов и их расположение в зависимости от параметра.